home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ HaCKeRz Kr0nlcKLeZ 1 / HaCKeRz Kr0nlcKLeZ.iso / anarchy / essays / schoolsucks / fractal.txt < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1996-04-27  |  8.1 KB  |  93 lines
  1. Math Report
  2. Fractal Geometry
  3.  
  4.  
  5. ôFractal Geometry is not just a chapter of mathematics, but one that
  6. helps everyman to see the same old world differently". - Benoit Mandelbrot
  7.  
  8.      The world of mathematics usually tends to be thought of as abstract.  Complex and imaginary numbers, real 
  9. numbers, logarithms, functions, some tangible and others imperceivable. But these abstract numbers, simply 
  10. symbols that conjure an image, a quantity, in our mind, and complex equations, take on a new meaning with 
  11. fractals - a concrete one.  Fractals go from being very simple equations on a piece of paper to colorful, 
  12. extraordinary images, and most of all, offer an explanation to things. The importance of fractal geometry is that it 
  13. provides an answer, a comprehension, to nature, the world, and the universe.  Fractals occur in swirls of scum on 
  14. the surface of moving water, the jagged edges of mountains, ferns, tree trunks, and canyons. They can be used to 
  15. model the growth of cities, detail medical procedures and parts of the human body, create amazing computer 
  16. graphics, and compress digital images. Fractals are about us, and our existence, and they are present in every 
  17. mathematical law that governs the universe. Thus,
  18. fractal geometry can be applied to a diverse palette of subjects in life, and science - the physical, the abstract, and 
  19. the natural.
  20.         We were all astounded by the sudden revelation that the output of a very simple, two-line generating formula 
  21. does not have to be a dry and cold abstraction. When the output was what is now called a fractal, no one called it 
  22. artificial...  Fractals suddenly broadened the realm in which understanding can be based on a plain physical basis.
  23.         A fractal is a geometric shape that is complex and detailed at every level of magnification, as well as self-
  24. similar. Self-similarity is something looking the same over all ranges of scale, meaning a small portion of a fractal 
  25. can be viewed as a microcosm of the larger fractal.  One of the simplest examples of a fractal is the snowflake. It 
  26. is constructed by taking an equilateral triangle, and after many iterations of adding smaller triangles to increasingly 
  27. smaller sizes, resulting in
  28. a "snowflake" pattern, sometimes called the von Koch snowflake. The theoretical result of multiple iterations is the 
  29. creation of a finite area with an infinite perimeter, meaning the dimension is incomprehensible. Fractals, before that 
  30. word was coined, were simply considered above mathematical understanding, until experiments were done in the 
  31. 1970's by Benoit Mandelbrot, the "father of fractal geometry".  Mandelbrot developed a method that treated 
  32. fractals as a part of
  33. standard Euclidean geometry, with the dimension of a fractal being an exponent.  Fractals pack an infinity into "a 
  34. grain of sand". This infinity appears when one tries to measure them. The resolution lies in regarding them as 
  35. falling between dimensions. The dimension of a fractal in general is not a whole number, not an integer.  So a 
  36. fractal curve, a one-dimensional object in a plane which has two-dimensions, has a fractal dimension that lies 
  37. between 1 and 2. Likewise, a fractal surface has a dimension between 2 and 3. The value depends on how the 
  38. fractal is constructed.
  39.         The closer the dimension of a fractal is to its possible upper limit which is the dimension of the space in 
  40. which it is embedded, the rougher, the more filling of that space it is.  Fractal Dimensions are an attempt to 
  41. measure, or define the pattern, in fractals. A zero-dimensional universe is one point. A one-dimensional universe is 
  42. a single line, extending infinitely. A two-dimensional universe is a plane, a flat surface extending in all directions, 
  43. and a
  44. three-dimensional universe, such as ours, extends in all directions. All of these dimensions are defined by a whole 
  45. number. What, then, would a 2.5 or 3.2 dimensional universe look like? This is answered by fractal geometry, the 
  46. word fractal coming from the concept of fractional
  47. dimensions.  A fractal lying in a plane has a dimension between 1 and 2. The closer the number is to 2, say 1.9, 
  48. the more space it would fill.  Three-dimensional fractal mountains can be generated using a random number 
  49. sequence, and those with a dimension of 2.9 (very close to the
  50. upper limit of 3) are incredibly jagged. Fractal mountains with a dimension of 2.5 are less jagged, and a dimension 
  51. of 2.2 presents a model of about what is found in nature. The spread in spatial frequency of a landscape is directly 
  52. related to it's fractal dimension.
  53.         Some of the best applications of fractals in modern technology are digital image compression and virtual 
  54. reality rendering. First of all, the beauty of fractals makes them a key element in computer graphics, adding flare to 
  55. simple text, and texture to plain backgrounds. In 1987 a mathematician named Michael F. Barnsley created a 
  56. computer program called the Fractal Transform, which detected fractal codes in real-world images, such as pictures 
  57. which have
  58. been scanned and converted into a digital format. This spawned fractal image compression, which is used in a 
  59. plethora of computer applications, especially in the areas of video, virtual reality, and graphics.  The basic nature of 
  60. fractals is what makes them so useful. If someone was
  61. rendering a virtual reality environment, each leaf on every tree and every rock on every mountain would have to be 
  62. stored. Instead, a simple equation can be used to generate any level of detail needed.  A complex landscape can be 
  63. stored in the form of a few equations in less than 1
  64. kilobyte, 1/1440 of a 3.25" disk, as opposed to the same landscape being stored as 2.5 megabytes of image data 
  65. (almost 2 full 3.25" disks).  Fractal image compression is a major factor for making the "multimedia revolution" of 
  66. the 1990's take place.
  67.         Another use for fractals is in mapping the shapes of cities and their growth.  Researchers have begun to 
  68. examine the possibility of using mathematical forms called fractals to capture the irregular shapes of developing 
  69. cities. Such efforts may eventually lead to models that would enable urban architects to improve the reliability of  
  70. types of branched or irregular structures... The fractal mapping of cities comes from the concept of self-similarity. 
  71. The number of cities and towns, obviously a city being larger and a town being smaller, can be linked. For a given 
  72. area there are a few large settlements, and many more smaller ones, such as towns and villages.
  73. This could be represented in a pattern such as 1 city, to 2 smaller cities, 4 smaller towns, 8 still smaller villages - a 
  74. definite pattern, based on common sense. To develop  fractal models that could be applied to urban development, 
  75. Barnsley and his collaborators turned to techniques first used in statistical physics to describe the agglomeration of 
  76. randomly wandering particles in two-dimensional clusters...'Our view about the shape and form of cities is that 
  77. their irregularity and messiness are simply a superficial manifestation of a deeper order'. 
  78.     Thus, fractals are used again to try to find a pattern in visible chaos.  Using a process called "correlated 
  79. percolation", very accurate representations of city growth can be achieved. The best successes with the fractal 
  80. city researchers have been Berlin and London, where a very exact mathematical relationship that included 
  81. exponential equations was able to closely model the actual city growth. The end theory is that central planning has 
  82. only a limited effect on cities - that people will continue to live where they want to, as if drawn there naturally - 
  83. fractally.
  84.         There has been a struggle since the beginning of his existence to find the meaning of life. Usually, it was 
  85. answered  with religion, and a "god".  Fractals are a sort of god of the universe, and prove that we do live in a very 
  86. mathematical world.  But, fractals, from their definition of complex natural patterns to models of growth, seem to 
  87. be proving that we are in a finite, definable universe, and that is why fractals are not only about mathematics, but 
  88. about seemingly about humans.
  89.  
  90.  
  91.  
  92.  
  93.